Dispersive Blow up for Nonlinear Schrödinger Equations Revisited

The possibility of finite-time, dispersive blow up for nonlinear equations of Schrödinger type is revisited. This mathematical phenomena is one of the possible explanations for oceanic and optical rogue waves. In dimension one, the possibility of dispersive blow up for nonlinear Schrödinger equations already appears in [9]. In the present work, the existing results are extended in several ways. In one direction, the theory is broadened to include the Davey-Stewartson and Gross-Pitaevskii equations. In another, dispersive blow up is shown to obtain for nonlinear Schrödinger equations in spatial dimensions larger than one and for more general power-law nonlinearities. As a by-product of our analysis, a sharp global smoothing estimate for the integral term appearing in Duhamel’s formula is obtained. Résumé. Nous revisitons la possibilité d’apparition de singularités dispersives (dispersive blow-up) pour des solutions d’équations de Schrödinger non linéaires. Ce phénomène mathématique pourrait être une explication pour l’apparition des “vagues scélérates” (rogue waves) en océanographie et optique non linéaire. La possibilité de singularités dispersives pour des équations de Schrödinger non linéaires en dimension spatiale un a été prouvée dans [9]. Ces résultats sont étendus ici dans plusieurs directions. D’une part la théorie est étendue à des équations de Schrödinger en dimension spatiale quelconque, avec des non-linéarités de type puissance générales. D’autre part nous traitons également le cas des systèmes de Davey-Stewartson et de l’équation de GrossPitaevskii. Un sous-produit de notre analyse est un effet de lissage global précis pour le terme intégral de la représentation de Duhamel.